Limit kontinu

Kekontinuan Fungsi :

Pada pembahasan limit fungsi diketahui bahwa limit fungsi disuatu titik kadang kala sama dengan nilai fungsi di titik tersebut. Grafik fungsi yang demikian dinamakan grafik fungsi kontinu. Pengertian formal dari fungsi kontinu diberikan berikut.

DEFINISI FUNGSI KONTINU
Suatu fungsi

f

dikatakan kontinu di titik

c

jika dan hanya jika memenuhi tiga syarat berikut
(1)

f (c)

terdefinisi
(2)

lim_{x \to c} f (x)

ada
(3)

lim_{x \to c} f (x) = f (c)

Sedangkan fungsi

f

dikatakan kontinu di suatu interval buka

(a, b)

jika dan hanya jika fungsi

f

kontinu di setiap titik di dalam interval tersebut.

Berdasarkan definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa syarat fungsi kontinu bisa disingkat hanya pada poin terakhir saja yaitu :

lim_{x \to c} f (x) = f (c)

Untuk memahami definisi fungsi kontinu, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.

Fungsi $f$ dengan rumus $f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}+4x-5}{x^{2}-1}$ diskontinu di $x=1$ karena $f(1)$ tidak terdefinisi.
Fungsi $g$ dengan rumus $g(x)=\begin{cases} 2x-1,& x<1\\ x+1,& x\geq 1 \end{cases}$ diskontinu di $x=1$ karena $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}g(x)$ tidak ada ( $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=1$ dan $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=2$ ).
Fungsi $h$ dengan rumus $h(x)=\begin{cases} 2x+1, & x<2\\ 3,& x=2\\ 3x-1,& x>2 \end{cases}$ diskontinu di $x=2$ karena $h(2)=3$ tetapi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}h(x)=5$
$\left(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}h(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}(2x+1)=5~\text{dan}~\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}h(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(3x-1)=5\right)$
Namun demikian, fungsi $h$ kontinu di $x=1$ karena $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}h(x)=3=h(1)$ .